在数学中,右连左极函数(càdlàg,RCLL)是指定义在实数集或其子集上的处处右连续且有左极限的函数。这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的随机过程时很重要,这类随机过程不像布朗运动具有连续的样本轨道。给定定义域上的右连左极函数的集合称为斯科罗霍德空间(Skorokhod space)。
累积分布函数是右连左极函数的一个例子。
令
为度量空间,并令
。函数
称为右连左极函数。若对于每一
,都有
- 左极限
存在;且
- 右极限
存在并等於
,
即
是右连续的且有左极限。
- 全部连续函数都是右连左极函数。
- 由累积分布函数的定义知所有的累积分布函数都是右连左极函数。
斯科罗霍德空间[编辑]
从
到
的所有右连左极函数的集合常记为
或简记为
,称为斯科罗霍德空间,是以乌克兰数学家阿纳托利·斯科罗霍德(Anatoliy Skorokhod)的名字命名。斯科罗霍德空间可以被指派一个拓撲結構,这一拓扑直觉上能使我们“稍微蠕动空间和时间”(而传统的一致收斂拓扑仅允许我们“稍微蠕动空间”)。为了简化说明,取
,
(Billingsley的书中描述了更一般的拓扑)
首先我们必须定义连续性模的一个模拟
。对於任意
,使
![{\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971536adb2e247f013f2024b4aed421538935296)
且对於
,将右连左极函数模(càdlàg modulus)定义为
![{\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d29f0cd91045936dc4a167d606a52d3b6d1dcc)
其中最大下界对所有划分
,
都存在,且
。这一定义对於非右连左极函数
是有意义的(就如通常的连续性模对於不连续函数是有意义的)且可以说明
是右连左极函数当且仅当
时
。
这是令
表示从
到自身的所有严格递减的连续双射函数的集合(这些函数是“对时间的蠕动”)。令
![{\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f45b3e8ea51a7a8d1aa3f28a937830309a1773)
表示
上的函数的一致范数。将
上的斯科罗霍德度量(Skorokhod metric)
定义为
![{\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6a4d1f4bbfb14caa3484fe09fa17fac32c5d31)
其中
是恆等函數。以“蠕动”这种直观感觉来看,
度量了“时间的蠕动”,而
度量了“空间的蠕动”。
我们可以证明斯科罗霍德度量度量的确是度量。由
生成的拓扑
称为
上的斯科罗霍德拓扑(Skorokhod topology)。
斯科罗霍德空间的性质[编辑]
一致拓扑的一般化[编辑]
E 上的连续函数空间C 是D 的一个子空间。相对应於C 斯科罗霍德拓扑与这里所述的一致拓扑相一致。
完备性[编辑]
虽然D 不是关於斯科罗霍德度量σ 的一个完备空间,但是可以证明存在具完备性的关於D 的拓扑等价度量 σ0 。
分离性[编辑]
关於σ 或σ0 的D 是可分空间,因此斯科罗霍德空间是波蘭空間。
斯科罗霍德空间中的胎紧性[编辑]
通过应用阿尔泽拉-阿斯科利定理,我们可以证明斯科罗霍德空间D 上概率测度的一个序列
是胎紧的当且仅当同时满足下列两个条件:
![{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\|f\|\geq a\}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c5a60efab478dee34eb0f3903d07a2f4b3faa5)
和
![{\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b85777f2b90be01d5a5ee4cad07efc29967816b)
代数结构与拓扑结构[编辑]
在斯科罗霍德拓扑和函数的逐点加法下,D 不是一个拓扑群。
参考文献[编辑]